数字电子技术(03):Boolean 运算速通¶
由于我们先前已经学过门电路了,我们现在主要就是介绍时序图和一些重要的Boolean运算方法.
布尔运算和基本规则¶
我们每个数字电路的变量都是布尔变量,这意味着这个变量只有"真,假"两个值.并且布尔运算只包括加法和乘法两种运算,并且加法和或门,乘法和与门的计算方法完全相同.因此,任何布尔表达式总是布尔变量的线性组合.
!!! note "乘法"的性质 已知\(\displaystyle\text{A}\bar{\text{B}}\text{C}\bar{\text{D}}=1\),求变量\(A,B,C,D\)的值
显然,要想与运算的值为\(1\),必须每一个输入都是\(1\)才行,因此可得\(\text{A}=1,\text{B}=0,\text{C}=1,\text{D}=0\)
!!! note "加法"的性质 已知\(\displaystyle\text{A}+\bar{\text{B}}+\text{C}+\bar{\text{D}}=0\),求变量\(A,B,C,D\)的值
显然,要想或运算的值为\(0\),必须每一个输入都是\(0\)才行,因此可得\(\text{A}=0,\text{B}=1,\text{C}=0,\text{D}=1\) 基本规则如下:
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\[ \displaystyle A + 0 = A \]
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\[ \displaystyle A + 1 = 1 \]
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\[ \displaystyle A \cdot 0 = 0 \]
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\[ \displaystyle A \cdot 1 = A \]
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\[ \displaystyle A + A = A \]
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\[ \displaystyle A + \overline{A} = 1 \]
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\[ \displaystyle A \cdot A = A \]
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\[ \displaystyle A \cdot \overline{A} = 0 \]
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\[ \displaystyle \overline{\overline{A}} = A \]
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\[ \displaystyle A + AB = A \]
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\[ \displaystyle A + \overline{A}B = A + B \]
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\[ \displaystyle (A + B)(A + C) = A + BC \]
这也太多了.所以我们不背,通过大量地使用来记忆和各种案例来记忆,比起上面的内容,下面的定律更大量的被使用.
DeMorgan 定律¶
定律介绍¶
我们现在来介绍 DeMorgan 定律,它反映了与门和或门之间的相互转换
DeMorgan 定律
对多个布尔变量的乘积取非和对这些变量先各自取非再求和完全一样,以二变量为例,即如下成立 $$ \overline{AB}=\overline{A}+\overline{B} $$
这个定律和集合的 DeMorgan 定律完全相同,我们只要写一个习题就可以完全掌握.
样例
利用 DeMorgan 定律转化下列布尔表达式为和式 $$ \overline{\overline{W}\,\overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z}} $$
这是简单的,断开求和即可,答案是\(W+X+Y+Z\)
复杂的案例¶
!!! "复杂案例" 化简 $$ \displaystyle \overline{\overline{A + B\overline{C}} + D(\overline{E+\overline{F}})} $$
这个案例还不是很难,首先先拨开上面:
Boolean 表达式的简化¶
我们可以写出很多等价的布尔表达式,这不代表我们每个都要用,一般而言,我们都用最节约门电路的那种设计,也就是最简的布尔表达式.我们比起介绍Boolean表达式的各种简化方法,而是先解决一些表达式化简的问题培养一些感觉
第一个
化简 $$ \displaystyle \overline{A}BC + A\overline{B}\,\overline{C} + \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} + A\overline{B}C + ABC $$
此式我们早有记载,首先提取首尾\(BC,\overline{B}\,\overline{C}\)项目,得到 $$ BC+\overline{B}\,\overline{C}+A\overline{B} C $$ 提取\(\overline{B}\) $$ BC+\overline{B}(\overline{C}+AC) $$ 进而 $$ BC+\overline{B}(A+C)=BC+A\overline{B}+\overline{B}\overline{C} $$
第二个
化简 $$ \displaystyle \overline{AB + AC} + \overline{A}\,\overline{B}C $$
利用 DeMorgan 定律可得 $$ (\overline{AB})(\overline{AC})+\overline{A}\,\overline{B}C $$ 继续,得到 $$ (\overline{A}+\overline{B})(\overline{A}+\overline{C})+\overline{A}\,\overline{B}C $$ 展开可得 $$ \overline{A}+\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{BC}+\overline{AB}C $$ 进而得到 $$ \overline{A}+\overline{BC} $$