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流体力学(04):关于流体的积分关系(上篇)

力学基本定理

给定系统

对于给定系统,流体质量显然是不发生改变的.一般我们称之为质量守恒定律.(不过这里我们忽略了质能转化,也就是禁止流体发生核反应,这是满足大部分的工程情况的.)

Note

\[ \frac{dm}{dt}=0 \]

流体有外加力的情况

当我们对一个微团施加外力的时候,根据牛顿第二定律,必然会对流体造成一个加速度(我们忽略相对论效应的影响).我们列出方程

\[ \vec{F}=m\vec{a} \]

那么考虑流体的流速向量\(\vec{v}\),时常将上面的方程写成

\[ \vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt} \]

由于我们忽略相对论效应,质量相对于我们的速度导数是常数,可以移入导数式子中:

\[ F=\frac{d(m\vec{v})}{dt}=\frac{d\vec{p}}{dt} \]

一般称之为流体的线动量定理. 事实上,由于我们已知在研究的是三维的流体,所以我们一般会将上面的公式拆开来用

\[ \begin{cases} \vec{F_{x}}=m\vec{a_{x}}\\ \vec{F_{y}}=m\vec{a_{y}}\\ \vec{F_{z}}=m\vec{a_{z}} \end{cases} \]

流体有外加力矩的情况

由我们大学物理的知识可以得到,当物体有外加的力矩时,就会造成其角动量的变化.可以说,力矩是角动量随时间的导数.可以写成如下的形式

\[ \vec{M}=\frac{d\vec{H}}{dt} \]

假如我们的流体是定轴转动的,上面的式子往往可以简化,但是很可惜,我们的流体一般而言不是定轴的.不过我们还是可以介绍一下,对于绕固定轴\(x\)旋转的流体,假设我们已知道其角速度\(\omega_{x}\),那么力矩可以写成关于角速度的函数

\[ M_{x}=I_{x}\frac{d\omega_{x}}{dt} \]

其中\(I_{x}\)是流体的转动惯量.

热力学的基本条件

除了要满足力学的条件,实质上我们还得满足热力学的条件,这就是说一般要满足

热力学第一定律

一般也叫能量守恒定律

\[ \delta Q-\delta W=dE \]

热力学第二定律

一般也叫熵增定律

\[ \frac{\delta Q}{T}\leq dS \]

质量流率和体积流率

体积流率

单位时间内通过某定曲面\(S\)的流体流量称为该流体的体积流率\(Q\),从这个定义的角度来看,体积流率就是流体速度场(原谅我事先说了个奇怪的名字)对曲面\(S\)的通量,因而可以直接写出通量的表达式

\[ Q=\iint_{S} (\vec{v}\cdot \vec{n})dS \]

其中\(\vec{n}\)是这个时刻\(S\)面元的法向量,对于不同的面元并非定值

质量流率

而质量流率无非就是密度乘上体积,因而很好写

\[ M=\iint_{S} \rho(\vec{v}\cdot \vec{n})dS \]

简单的情况

上面是一般的情况,假如我们取\(S\)为给定流体容器的横截面积\(A\),并且假设速度场恒定为\(\vec{v_{0}}\),那么此时就表示截面的流率

\[ Q_{const}=A\cdot v_{0} \]

上面的这种流动形式叫做定常流动 自然地,也有

\[ M_{const}=\rho A\cdot v_{0} \]

力学的两个观点:Eulerian和Lagrangian

监控大战行车记录仪

现在我们来介绍 Reynold 输运定理,但是在此之前,我们有一个简单的疑问?

如何计算学校门口当日的车流量?

你大概率以下面的方法计算:

  • 找到一个标志物,比如学校的保安岗亭
  • 拿出一个计数器,一个秒表,只要一辆车通过岗哨附近就按一下计数器计数
  • 秒表经过 1 小时后,获取计数器的数字,得到车流量
  • 重复上述实验以获得更精确的情况

那么,你是否会关注

  • 红色小汽车是要开到同济大学的,它先加速到\(70\text{km/h}\),之后又堵了 30 分钟
  • 蓝色小汽车是要开到上海理工大学的,它先加速到\(70\text{km/h}\),之后又堵了 40 分钟
  • 黑色小汽车要开到人民广场
  • 把所有汽车的户口都查出来,我必须知道所有车的所有轨迹!

很显然,如果我是以第二种方法统计车流量的话,你早把我打死了.但是我们在研究刚体的时候就是用的第二种方法啊?我们努力取获得质点的运动轨迹,进而获得刚体的运动方程,从而继续研究刚体的运动.这种研究方法,我们一般称之为Lagrangian 观点(拉格朗日观点).

而我们正常统计车流量的方法,是找到某个\(N\)维流动体的\(N-1\)维度截面(刚才车流量的模型是二维的,因而我们找了一位的保安岗亭点作为截面),通过计算在某个时间段通过的微团/质点个数来判断质点/微团的运动状态,这种观点一般称之为Eulerian 观点(欧拉观点).

可以这么无耻地比喻:了解车辆运动,拉格朗日观点就是用一堆行车记录仪,欧拉的观点就是用一堆监控.

由于流体质点/微团不可计,我们被迫只好用Eulerian 观点了.

Eulerian 观点下的一些概念

控制体(CV)和控制面(CS)

我们常常会在研究流体的时候选取其中的一个部分来研究.在算车流量的时候,你是真的不会取整条那么长的路来数的吧(以我个人经历我的反应应该是没那么灵敏,数车仙人当我没说).你都是取个小块,比如学校大门口附近的路就是一个很好的选择.

类比一下流体其实也一样,你也只不过是选了一个确定空间内的流体进行研究.是空间就要占据体积,所以我们叫它控制体(Control Volume,少数我觉得英语比较直观简洁的概念).

那么你怎么判断车是不是在你选定的区域内呢?看是不是进入了你选定区间的两个端点嘛.类比一下,我们其实也关注控制体的边界,由于我们的流体是三维的,它的边界就是一个二维的面,我们叫它控制面(Control Surface).

需要注意的是,由于我们在定义控制体和控制面的时候,就已经是在设岗哨来计算车流量的语境下了,所以控制体和控制面都是在 Eulerian 观点下的概念.

速度场

前面我们讲体积流率的时候已经讲到过这个概念了,现在我们来完善地认识它.

还是数车,既然我们已经是从整体的大环境来数车了,那么我们研究的流率肯定必然和每辆车的车速都有关系,所以我们要研究的并不是单独一辆汽车的速度,而是控制体内每辆汽车的速度.因此,我们讨论的不是一个向量,而是一堆向量,我们叫它向量场.

从数学抽象的观点来理解,只要我们确定了坐标空间的原点,那么每个向量场内的向量都是可以用对应的点来表示的(只要将其平移到原点/直接自己设一个好处理的原点,然后用此时的向量终点来代指向量即可).因此,关于向量(场)的函数就是关于向量场内点的函数.因此,对于上面我们提到的车速,我们可以有:

\[ \vec{v}=\vec{v}(x,y,z,t) \]

这便是在描述一个矢量场的分布了.