流体力学(05):关于流体的积分关系(中篇)¶

Reynolds 输运定理的导出¶

在分析流体运动时,我们常面临一个挑战,即熟悉的物理定律(如牛顿定律)通常是针对一个固定的质点系(Lagrangian 观点)描述的,但观测和测量流体却往往在空间中的固定区域(Eulerian 观点)进行。如何建立两种观点之间的桥梁,我们需要导出雷诺输运定理.

对于Lagrangian 观点下的某个广延物理量$N$(此时他是一个关于$t$的单值函数),在经过了一个无穷小的时间间隔$dt$之后,它发生了一定程度的变化$dN$.

\[ \frac{dN}{dt} \]

现在我们换Eulerian 观点来认识一下上面发生的情况.假设我们已经选好了一个充满液体的控制体,在微小的时间$dt$中,给定广延量(此时它不是关于$t$的单值函数)由$t$时刻的情况$N_{t}$,转变为$N_{t+dt}$了. 与此同时,有一部分流体进出了控制体,对我们的广延量造成了$dN_{out},dN_{in}$的影响(通量贡献).由于通量的定义,进负出正,那么可得变化率的表达:

\[ \frac{N_{t+dt}-N_{t}-dN_{in}+dN_{out}}{dt} \]

拆开上面的微分,由于广延量不完全是$t$的单值函数,更标准的写法应当是偏微分

\[ \frac{\partial N_{CV}}{\partial t}+\frac{\partial N_{net}}{\partial t} \]

上面这个东西自然就等于我们在讨论Lagrangian 观点时的变化情况等价,因而:

\[ \frac{dN}{dt}=\frac{\partial N_{CV}}{\partial t}+\frac{\partial N_{net}}{\partial t} \]

这其实已经完成了桥梁的搭建了.只是...这个公式完全没解释后面两个导数咋算,因此我们还得把它继续转化成我们已经声明过的物理量和数学量.由于我们讨论的是广延量,不妨除去质量$M$.假设$N$所对应除去质量的强度量叫$\eta$.那么自然就会有

\[ N_{CV}=\eta m_{CV} =\eta \rho V_{CV}=\eta \rho \iiint_{CV} dV \]

而进出的变化率就是通过两截面广延量的净通量

\[ \frac{\partial N_{net}}{\partial t}=\iint_{CS}\eta \rho (\vec{v}_{net\,CS}\cdot \vec{n})dA \]

因此我们得到 Reynolds 输运定理的一般形式.

\[ \color{Red}{ {\frac{dN}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\iiint_{CV} \eta \rho dV+\iint_{CS}\eta \rho (\vec{v}_{net\,CS}\cdot \vec{n})dA}} \]

前者由广延量的两个时刻的累积效应决定,因而也叫累积项,后者是在这个瞬间上两截面的通量,一般称之为通量项.

Reynolds 输运定理的孩子们(上)¶

质量守恒定律的积分形式:连续方程¶

首先,我们将 RTT 应用于最基本的守恒定律——质量守恒,假如我们让上述的广延量$N=m$,我们就得到了流体的质量守恒定律

\[ \frac{dm}{dt}=\frac{d }{dt}\iiint_{CV} \rho dV+\iint_{CS} \rho (\vec{v}_{net\,CS}\cdot \vec{n})dA \]

由于我们先前讨论过系统微元的质量不发生改变,所以质量守恒定律可以写成如下的积分形式

\[ \color{Gold}{ \frac{d }{dt}\iiint_{CV} \rho dV+\iint_{CS} \rho (\vec{v}_{net\,CS}\cdot \vec{n})dA=0} \]

上面的方程一般被我们叫做连续方程. 如果我们的控制体的体积不发生改变,那么上面的连续方程还能进一步地简化,只要将微分号移入积分中即可:

\[ \iiint_{CV}\frac{ \partial \rho}{\partial t} dV+\iint_{CS} \rho (\vec{v}_{net\,CS}\cdot \vec{n})dA=0 \]

我们还可以进一步简化,假设我们选定的控制体有且仅有有限个一维出入口,自然就会得到

\[ \iiint_{CV}\frac{ \partial \rho}{\partial t} dV+\sum_{i}(\rho_{i}A_{i}v_{i})_{out}-\sum_{i}(\rho_{i}A_{i}v_{i})_{in}=0 \]

再进一步简化,假设流体的是定常流动,即$\frac{\partial \rho}{\partial t}\equiv 0$,则稳态项$\displaystyle \iiint_{CV}\frac{ \partial \rho}{\partial t} dV$的贡献为$0$,因此

\[ \sum_{i}(\rho_{i}A_{i}v_{i})_{out}=\sum_{i}(\rho_{i}A_{i}v_{i})_{in} \]

我们在开头刚刚讲过$\rho A v$就是质量流率,则有

\[ \sum_{i} \dot{m}_{in}=\sum_{i} \dot{m}_{out} \]

下面的补充包介绍了几个上述的实例:[连续方程实例]

动量定律的积分形式:动量方程¶

接下来,考虑动量守恒定律.我们将 RTT 应用于系统的动量$N=\vec{p}$.则此时我们的强度量$\eta$就必须按如下形式计算:

\[ \eta=\frac{\vec{p}}{m}=\vec{v} \]

将上面的内容带入 Reynolds 输运定理,得到

\[ {\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\iiint_{CV} \vec{v} \rho dV+\iint_{CS}\vec{v}\rho (\vec{v}_{r}\cdot \vec{n})dA} \]

其中$\vec{v}$是流体的绝对速度,而$\vec{v_{r}}=\vec{v}-\vec{v_{CS}}$称为流体相对控制面的相对速度,只有在流体和流体面之间有相对运动的条件下,流体才会发生动量的变化.而由我们先前介绍的牛顿第二定律,动量对时间的一阶导数就是流体受到的合外力,因而上面的式子应当写成如下的形式

\[ \color{Green}{\sum \vec{F}=\frac{\partial }{\partial t}\iiint_{CV} \vec{v} \rho dV+\iint_{CS}\vec{v}\rho (\vec{v}_{r}\cdot \vec{n})dA} \]

上面推导出的内容称之为流体的动量方程,当然,更多时候我们会写成三维方程组的形式,这是完全等价的.
假如我们取出的控制体是固定不动的,那么此时$\vec{v_{r}}=\vec{v}-\vec{v_{CS}}=\vec{v}$,因此上式就会变成

\[ \boxed{ \sum \vec{F}=\frac{d }{d t}\iiint_{CV} \vec{v} \rho dV+\iint_{CS}\vec{v}\rho (\vec{v}\cdot \vec{n})dA} \]

我们沿用研究质量律的研究方法,假如此时我们在讨论一维截面的流动,那么后面的通量就可以写成两个和的形式

\[ \sum \vec{F}=\frac{d }{d t}\iiint_{CV} \vec{v} \rho dV+\sum_{i}(m_{i}v_{i})_{out}-\sum_{i}(m_{i}v_{i})_{in} \]

动量方程的重要推论:Bernoulli 方程¶

Bernoulli 方程的导出¶

现在我们利用动量定理来导出 Bernoulli 方程.假设给定如下图所示的一个管路 Ber 假设管路的内流体的基本属性 $\rho, \mathbf{v}, p$ 随着 $s$ 的不同而发生着变化, 但是在同一截面 $A(s)$ 上的属性完全相同, 流管有一给定的倾角 $\theta$, 因此, 我们能找出高度变化和流经路径的关系

\[ dz=ds\sin \theta \]

假设我们不计管路和流体之间的摩擦（即无粘流动），此时流体会发生什么呢? 对沿流管中心线的流体微元列出质量方程和动量方程。首先看质量方程（应用于流体微元 $dV = A ds$）：

$$ \frac{d}{dt} \left( \int_{CV} \rho \, dV \right) + \dot{m}{\mathrm{out}} - \dot{m} = 0 $$ 对于微元 }$dV = A ds$，其随时间的变化近似为： $$ \frac{\partial (\rho A ds)}{\partial t} + d\dot{m} = 0 $$ 若流管截面积 $A$ 不随时间变化，则： $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} A ds + d\dot{m} = 0 $$ 因此, 可得质量流率沿流管的变化： $$ d\dot{m}=-\frac{\partial \rho}{\partial t} \, Ads $$ 这个关系对管内流动普遍适用。现在我们来看动量方程在流线方向 $s$ 上的分量，应用于同一流体微元：

$$ \sum!dF_s = \frac{d}{dt}\left(\int_{CV} \mathbf{v}s \rho~dV\right) + (\dot{m} \mathbf{v}_s)} - (\dot{m} \mathbf{vs) $$ 对于微元 $dV = A ds$，其动量变化近似为： $$ \sum!dF_s \approx \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho \mathbf{v}_s\right)A~ds + d(\dot{m} \mathbf{v}_s) $$ (注意：这里的 $\mathbf{v}_s$ 是速度在 $s$ 方向的分量，为简化书写，后续用 $v$ 代表 $v_s$)

现在来看作用在微元上的力 $\sum dF_{s}$。由于假设无摩擦，合外力仅由压力和重力在 $s$ 方向的分量贡献。重力在 $s$ 方向的分量为：

$$ d{F_{g,s}}=-dW\sin\theta=-\gamma Ads\sin\theta=-\gamma A dz $$ （其中 $\gamma = \rho g$ 是流体的重度）

压力在 $s$ 方向的作用力为进口压力 $pA$ 和出口压力 $-(p+dp)A$ 之和（忽略侧面压力在 $s$ 方向的投影，或认为流线方向即为 $s$ 方向）： $$ dF_{p,s} \approx pA - (p+dp)A = -A dp $$

因此微元受到的总外力在 $s$ 方向的分量为： $$ \sum dF_{s}=-A dp-\gamma A dz $$

联立动量方程和力的表达式： $$ -A dp-\gamma A dz \approx \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho v\right)A~ds + d(\dot{m} v) $$

展开右式的微分项 $d(\dot{m} v) = \dot{m} dv + v d\dot{m}$，并将 $\frac{\partial (\rho v)}{\partial t} = \frac{\partial \rho}{\partial t} v + \rho \frac{\partial v}{\partial t}$ 代入： $$ -A dp-\gamma A dz \approx \left(\frac{\partial \rho}{\partial t} v + \rho \frac{\partial v}{\partial t}\right)A~ds + \dot{m} \, dv + v \, d\dot{m} $$

将前面得到的质量流率变化关系 $d\dot{m}=-\frac{\partial \rho}{\partial t} \, Ads$ 代入上式最后一项： $$ -A dp-\gamma A dz \approx \frac{\partial \rho}{\partial t} vA \, ds + \rho \frac{\partial v}{\partial t} A \, ds + \dot{m} \, dv + v \left(-\frac{\partial \rho}{\partial t} \, Ads\right) $$

注意到 $\frac{\partial \rho}{\partial t} vA \, ds$ 项和 $v \left(-\frac{\partial \rho}{\partial t} \, Ads\right)$ 项相互抵消，得到： $$ -A dp-\gamma A dz \approx \rho \frac{\partial v}{\partial t} A \, ds + \dot{m} \, dv $$

将 $\dot{m} = \rho A v$ 代入（适用于稳态或缓变流动近似），并同除以 $\rho A$： $$ -\frac{dp}{\rho} - \frac{\gamma}{\rho} dz \approx \frac{\partial v}{\partial t} \, ds + v \, dv $$ 由于 $\gamma = \rho g$，则 $\gamma/\rho = g$。整理得到： $$ \boxed{\frac{\partial v}{\partial t} \, ds + \frac{dp}{\rho} + gdz + v dv = 0} $$

上面这个方程就是沿流线的非定常、可压缩、无粘流动的伯努利方程的微分形式。这解释了为什么它和教科书中常见的形式不同，因为它更具一般性。

现在，我们考虑更常见的情况：定常流动（$\frac{\partial v}{\partial t} = 0$）且不可压缩流动（$\rho = \text{const}$）。此时方程简化为： $$ \frac{dp}{\rho} + gdz + v dv = 0 $$ 对上式从流线上点 1 积分到点 2： $$ \int_{1}^{2} \frac{dp}{\rho} + \int_{1}^{2} gdz + \int_{1}^{2} v dv = 0 $$ 由于 $\rho$ 和 $g$ 是常数： $$ \frac{p_2 - p_1}{\rho} + g(z_2 - z_1) + \frac{1}{2}(v_2^2 - v_1^2) = 0 $$ 这可以写成： $$ \color{red}{g(z_{2}-z_{1})+\frac{p_{2}-p_{1}}{\rho}+\frac{1}{2}(v_{2}^{2}-v_{1} $$ 或者，将状态 1 和状态 2 分列等号两边，得到教科书中常见的形式： $$ \boxed{\frac{p_{1}}{\rho}+\frac{1}{2}v_{1}})=0^{{2}+gz_{1}=\frac{p_{2}}{\rho}+\frac{1}{2}v_{2}} $$}+gz_{2}=\text{const}

这个方程表明，在定常、不可压缩、无粘流动中，沿同一流线的总机械能（以单位质量表示）守恒。各项分别代表单位质量流体的压力能（流功能）、动能和重力势能。因此，伯努利原理本质上是机械能守恒在特定条件下的体现。我们只考虑这三种能量形式，是因为推导过程中只考虑了压力做功、重力做功以及动能的变化.

Bernoulli 方程的基本推论¶

我们可以观察到,如果把伯努利方程两边同时除去$g$,那么两边的量纲都会统一成$[L]$,因此,我们常常也把它写成这样的形式

\[ \frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{1}{2g}v_{1}^{2}+z_{1}=\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{1}{2g}v_{2}^{2}+z_{2}=H \]

我们一般叫$H$为流体的总水头(Water Head).可见,无摩擦的不可压缩流体的定常流动过程的水头是不变的.我们可以由水力线图来描述上面的事实和水头的变化

如果我们现在不考虑位置势能带来的印象,那么上面的方程可以写成

\[ \frac{p_{1}}{\rho }+\frac{1}{2}v_{1}^{2}=\frac{p_{2}}{\rho }+\frac{1}{2}v_{2}^{2} \]

两边同时消去$\rho$,得到的物理量量纲为$[\text{ML}^{-1}\text{T}^{-2}]$,因此可以取其为一压强$p_{stag}$

\[ \frac{p_{1}}{\rho }+\frac{1}{2}v_{1}^{2}=\frac{p_{2}}{\rho }+\frac{1}{2}v_{2}^{2}=p_{stag} \]

此时我们叫$p_{stag}$为滞止压强(stagnation pressure). 它在我们的[Pitot 管实例]中起到了重要的作用,与此同时,上面的内容也能帮我们更好地认识[Venturi 管].