流体力学(06):关于流体的积分关系(下篇)¶
流体动量矩方程¶
假如我们将我们令 Reynolds 输运方程的广延量为角动量\(H\),那么 Reynolds 方程就变为下面形式 $$ {\frac{dH}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\iiint_{CV} \eta_{H} \rho dV+\iint_{CS}\eta_{H} \rho (\vec{v}{net\,CS}\cdot \vec{n})dA} $$ 现在的目标是处理\(\eta_{H}\),由于角动量本身是由各个点动量的矩贡献的,并不能直接用\(H/m\)这样的平均值来替代(不是线性),单位质量的体积就应该是微元之间的比值 $$ \eta $$ 带入得到 $$ {\frac{dH}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\iiint_{CV} \frac{dH}{dm} \rho dV+\iint_{CS}\frac{dH}{dm} \rho (\vec{v}}=\frac{dH}{dm{net\,CS}\cdot \vec{n})dA} $$ 由动量矩的定义可以得到 $$ H=\int)dm $$ 所以就有 $$ \frac{dH}{dm}=\vec{r}\times \vec{v} $$ 带入得到 $$ {\frac{dH}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\iiint_{CV} (\vec{r}\times \vec{v}) \rho dV+\iint_{CS}(\vec{r}\times \vec{v}) \rho (\vec{v}}(\vec{r}\times \vec{v{r}\cdot \vec{n})dA} $$ 因为我们知道角动量随时间的导数是动量导数,在控制体不变形的条件下,满足 $$ \sum M $$ 上面的方程一般称之为}={\frac{dH}{dt}=\frac{d }{dt}\iiint_{CV} (\vec{r}\times \vec{v}) \rho dV+\iint_{CS}(\vec{r}\times \vec{v}) \rho (\vec{v}_{r}\cdot \vec{n})dA动量矩方程.
流体能量方程¶
现在我们考虑将前文的广延量改为热力学能\(E\).此时\(\eta=e\)称为单位质量能. $$ {\frac{dE}{dt}=\frac{d }{dt}\iiint_{CV} e \rho dV+\iint_{CS}e\rho (\vec{v}{net\,CS}\cdot \vec{n})dA} $$ 考虑前文所叙的热力学第一定律,假设控制体不发生变化,上面的式子还可以改写成 $$ \frac{dQ}{dt}-\frac{dW}{dt}=\frac{d }{dt}\iiint)dA $$ 现在我们来进一步探讨关于} e \rho dV+\iint_{CS}e\rho (\vec{v}_{net\,CS}\cdot \vec{n\(e\)的内涵,在热力学中我们熟知 $$ e=\frac{1}{2}v^{2}+u+gz $$ 而我们现在着重分析\(Q,W\)变化带来的贡献,也就是左边式子的情况
控制体功的变化¶
现在我们来讨论控制体功的变化,这其实不是流体力学问题,而是之前我们热力学课程当中分析过的问题.事实上,任何的控制体的功总是分为如下四个分量,
- \(W_{norm}\),即法向应力(说白了就是压力)做的功,是一个膨胀功
- \(W_{shaft}\),一般叫做轴功,是一种技术功，一般用来表示叶轮机传递的功率等
- \(W_{shear}\),即剪切功,一般是由于流体与管面的剪切力造成的功的变化.
- \(W_{other}\),其他的功,比如对流体通电可能会做电功之类的.
那么自然地,我们就应该写出下面的表达式,并仔细分别分析上面四种不同的功的贡献.
现在我们来逐一分析它们的物理意义和数学表达。
1. 法向应力功 (\(\displaystyle \dot{W}_{norm}\)) 与 流功 (Flow Work)¶
法向应力功是由作用在控制表面 (CS) 上的压力 (法向应力) 所做的功。考虑控制表面的一个微元面积 \(\displaystyle dA\)，其外法线向量为 \(\displaystyle \vec{n}\)。流体内部的压力 \(\displaystyle p\) 对这个微元面积施加的作用力是 \(\displaystyle -p\vec{n}dA\) (负号表示压力作用方向与外法线相反，指向控制体内)。
当流体以速度 \(\displaystyle \vec{v}\) 穿过这个微元面积时，压力对流体做的功的功率（即 \(\displaystyle d\dot{W}_{norm}\)）是力与速度的点积： $$ \displaystyle d\dot{W}{norm} = (-p\vec{n}dA) \cdot \vec{v} = -p(\vec{v} \cdot \vec{n})dA $$ 对整个控制表面积分，得到法向应力对控制体积内流体做功的总功率： $$ \displaystyle \dot{W})dA $$ } = \iint_{CS} -p(\vec{v} \cdot \vec{n然而，在推导最终的能量方程时，我们通常不直接将 \(\displaystyle \dot{W}_{norm}\) 放在 \(\displaystyle \dot{W}\) 项中。这是因为这部分功与流体进出控制体积的行为密切相关，它更自然地与能量的对流项结合在一起。
让我们回顾一下能量方程的右侧，特别是通过控制表面的能量通量项： $$ \displaystyle \iint_{CS}e\rho (\vec{v}\cdot \vec{n})dA = \iint_{CS}(\hat{u} + \frac{1}{2}v^{2} + gz)\rho (\vec{v}\cdot \vec{n})dA $$ 这一项代表了随流体质量流动而进出控制体积的内能、动能和势能。但是，流体要进入或离开控制体积，必须克服边界上的压力做功。这部分功被称为 流功 (Flow Work)。单位质量流体进出控制体积所伴随的流功是 \(\displaystyle p/\rho\)。
因此，通过控制表面的总能量输运率，不仅包括流体本身携带的能量 \(\displaystyle e\)，还包括了将其推入或推出控制体积所需的流功 \(\displaystyle p/\rho\)。我们将这两部分合并： $$ \displaystyle \text{能量通量} + \text{流功通量} = \iint_{CS}(e + \frac{p}{\rho})\rho (\vec{v}\cdot \vec{n})dA $$ 注意到 \(\displaystyle e + p/\rho = (\hat{u} + \frac{1}{2}v^2 + gz) + p/\rho = (\hat{u} + p/\rho) + \frac{1}{2}v^2 + gz\)。我们定义 焓 (Enthalpy) \(\displaystyle \hat{h} = \hat{u} + p/\rho\)。于是，能量通量项可以优雅地写成： $$ \displaystyle \iint_{CS}(\hat{h} + \frac{1}{2}v^{2} + gz)\rho (\vec{v}\cdot \vec{n})dA $$ 这样，法向应力做的功（流功）就被巧妙地包含在了使用焓计算的能量对流项中。
2. 轴功 (\(\displaystyle \dot{W}_{shaft}\))¶
轴功 是指通过旋转轴传递的机械功。当控制体积包围一个流体机械（如泵的叶轮、涡轮的转子）时，轴功代表了流体与外界通过该机械传递的功率。 * 对于泵或风机，外界对流体做功，\(\displaystyle \dot{W}_{shaft}\) 为负值（能量输入控制体）。 * 对于涡轮，流体对外界做功，\(\displaystyle \dot{W}_{shaft}\) 为正值（能量输出控制体）。
轴功是能量方程左侧 \(\displaystyle \dot{W}\) 项中最主要的部分，通常也是唯一明确保留的部分。
3. 剪切功 (\(\displaystyle \dot{W}_{shear}\))¶
剪切功是由作用在控制表面上的切向应力（粘性剪切应力）所做的功。如果控制表面是固定的（例如管道壁），流体速度为零（无滑移条件），则剪切力不做功。如果控制表面本身在切向运动（例如，一个移动的带子穿过控制体积），或者在某些特殊情况下（例如，考虑流体微团变形），剪切功可能需要考虑。
在大多数宏观控制体分析中，尤其是在固定边界问题中，\(\displaystyle \dot{W}_{shear}\) 通常为零或可以忽略。粘性效应的影响主要体现在将机械能转化为内能（耗散），这会反映在内能 \(\displaystyle \hat{u}\) 或焓 \(\displaystyle \hat{h}\) 的变化上，或者在简化方程中表示为“损失”项。
4. 其他功 (\(\displaystyle \dot{W}_{other}\))¶
这是一个概括性术语，包括所有其他形式的功传递，例如电磁力做功等。在典型的流体力学问题中，除非特别指出，\(\displaystyle \dot{W}_{other}\) 通常为零。
整合能量方程¶
将上述对功的分析代入热力学第一定律应用于控制体的形式： $$ \displaystyle \frac{dQ}{dt}-\dot{W}=\frac{\partial }{\partial t}\iiint_{CV} e \rho dV+\iint_{CS}e\rho (\vec{v}\cdot \vec{n})dA $$ 我们将 \(\displaystyle \dot{W}\) 分解，并将流功部分移到右侧与能量通量合并： $$ \displaystyle \dot{Q}{CV} - (\dot{W}} + \dot{W{shear} + \dot{W}) dA $$ 使用焓 }) = \frac{\partial }{\partial t}\iiint_{CV} \rho e \, dV + \iint_{CS} \rho (e + \frac{p}{\rho}) (\vec{v} \cdot \vec{n\(\displaystyle \hat{h} = \hat{u} + p/\rho\) 和 \(\displaystyle e = \hat{u} + \frac{1}{2}v^2 + gz\)，最终得到常用的 控制体积能量方程 形式： $$ \displaystyle \boxed{ \dot{Q}{CV} - \dot{W}} - \dot{W{shear} - \dot{W} $$ 在许多应用中，我们会忽略 } = \frac{\partial }{\partial t}\iiint_{CV} \rho (\hat{u} + \frac{1}{2}v^2 + gz) dV + \iint_{CS} \rho (\hat{h} + \frac{1}{2}v^2 + gz) (\vec{v} \cdot \vec{n}) dA \(\displaystyle \dot{W}_{shear}\) 和 \(\displaystyle \dot{W}_{other}\)，方程简化为： $$ \displaystyle \dot{Q}{CV} - \dot{W}) dA $$ 这个形式是进行热流体分析的强大工具，可以进一步根据具体问题（如定常流动、不可压缩流动、绝热流动等）进行简化。} = \frac{\partial }{\partial t}\iiint_{CV} \rho (\hat{u} + \frac{1}{2}v^2 + gz) dV + \iint_{CS} \rho (\hat{h} + \frac{1}{2}v^2 + gz) (\vec{v} \cdot \vec{n
总结¶
有一些很装逼的名词给他们祛祛魅:
流体力学流动类型、特性及雷诺输运定理应用综合表¶
| 流动类型/条件 (Flow Type/Condition) | 简明描述 (Brief Description) | 关键物理特性/影响 (Key Physical Characteristics/Influence) | 雷诺数 (\(\displaystyle Re = \frac{\rho VL}{\mu}\)) 解读 (Reynolds Number Interpretation) | 关键准则数 (Key Dimensionless Numbers) | 雷诺输运定理 (RTT) 变体/应用侧重 (RTT Variant/Application Focus) |
|---|---|---|---|---|---|
| 通用流动 (General Flow) | 无特殊简化，最普遍情况。 | 密度(\(\displaystyle \rho\)), 速度(\(\displaystyle \mathbf{V}\)), 强度性质(\(\displaystyle b\)) 均可变；控制体(CV)可移动/变形。 | \(\displaystyle Re\) 用于表征惯性力/粘性力比值，但需考虑参数变化。 | \(\displaystyle Re, Ma, Fr, We, St\) 等，取决于具体问题。 | 完整形式: \(\displaystyle \frac{d(B_{sys})}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} (\rho b \, dV) + \int_{CS} (\rho b \mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n}) \, dA\) (适用于推导所有守恒律的基础) |
| 固定控制体 (Fixed Control Volume) | 控制体在空间中位置和形状不变。 | CV 几何固定。 | \(\displaystyle Re\) 计算基于固定几何尺寸 \(\displaystyle L\)。 | 取决于具体流动类型。 | 简化 \(\displaystyle \mathbf{V}_r\): \(\displaystyle \mathbf{V}_r = \mathbf{V}\) (流体绝对速度)。 \(\displaystyle \frac{d(B_{sys})}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} (\rho b \, dV) + \int_{CS} (\rho b \mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, dA\) (大多数工程分析的基础形式) |
| 不可压缩流 (Incompressible Flow) | 流体密度 \(\displaystyle \rho\) 基本不变。 | \(\displaystyle \rho = \text{常数}\)。 | \(\displaystyle Re\) 公式中 \(\displaystyle \rho\) 为常数。 | \(\displaystyle Re\) (主导动力相似), \(\displaystyle Ma \ll 1\) (通常 \(\displaystyle Ma < 0.3\))。 | 提出常数 \(\displaystyle \rho\): \(\displaystyle \frac{d(B_{sys})}{dt} = \rho \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} (b \, dV) + \rho \int_{CS} (b \mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n}) \, dA\) (应用: 导出体积守恒 \(\displaystyle \int_{CS} (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, dA = 0\) [若定常+固定CV]) |
| 可压缩流 (Compressible Flow) | 流体密度 \(\displaystyle \rho\) 发生显著变化。 | \(\displaystyle \rho = \text{变量}\), \(\displaystyle T, p\) 重要。 | \(\displaystyle Re\) 公式中 \(\displaystyle \rho\) 是变量 (局部或参考值)。 | \(\displaystyle Ma\) (关键), \(\displaystyle Re, Pr, \gamma\)。 | 无密度简化: RTT 形式不变，但积分内 \(\displaystyle \rho\) 需作为变量处理。 (应用: 高速气体动力学，需结合能量方程) |
| 定常流 (Steady Flow) | 流场参数不随时间变化。 | \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} = 0\) 对所有流体属性。 | \(\displaystyle Re\) 公式中 \(\displaystyle V\) 为恒定速度。 | \(\displaystyle Re, Ma, Fr, We\) (取决于问题), \(\displaystyle St = 0\)。 | 时间导数项为零: \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} (\rho b \, dV) = 0\)。 \(\displaystyle \frac{d(B_{sys})}{dt} = \int_{CS} (\rho b \mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n}) \, dA\) (应用: 稳态质量、动量、能量平衡) |
| 非定常流 (Unsteady Flow) | 流场参数随时间变化。 | \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \neq 0\)。 | \(\displaystyle Re\) 可为瞬时值 \(\displaystyle Re(t)\) 或基于平均速度 \(\displaystyle \bar{V}\)。 | \(\displaystyle St\) (关键), \(\displaystyle Re, Ma, Fr, We\)。 | 保留时间导数项: \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} (\rho b \, dV) \neq 0\)。 完整 RTT 或固定 CV 形式适用。 (应用: 启动/停止过程、涡街脱落、波动) |
| 层流 (Laminar Flow) | 流体分层流动，混合弱。 | 粘性力主导，流动有序。 | \(\displaystyle Re < Re_{crit}\) (临界雷诺数)，用于判断流态。 | \(\displaystyle Re\) (关键判据), \(\displaystyle f = \frac{64}{Re}\) (圆管)。 | RTT 本身形式不变，但 \(\displaystyle \mathbf{V}\) 场平滑规则。常结合稳态、不可压缩假设推导精确解（如Hagen-Poiseuille）。 |
| 湍流 (Turbulent Flow) | 流体运动混乱，混合强。 | 惯性力主导，流动随机脉动。 | \(\displaystyle Re > Re_{crit}\)，用于判断流态 (常基于平均速度 \(\displaystyle \bar{V}\))。 | \(\displaystyle Re\) (关键判据), 相对粗糙度 \(\displaystyle \frac{\epsilon}{D}\) (影响摩擦)。 | RTT 应用于瞬时量复杂。常对 RTT 进行时间平均 (RANS)，导出含雷诺应力项的平均流方程。 |
| 粘性流 (Viscous Flow) | 考虑流体粘度 \(\displaystyle \mu\)。 | \(\displaystyle \mu \neq 0\), 存在内摩擦和边界层。 | \(\displaystyle Re\) 公式直接体现粘性影响 (\(\displaystyle \mu\) 在分母)。 | \(\displaystyle Re\) (核心), \(\displaystyle Pr\) (若有传热)。 | 通用 RTT 适用。是推导 Navier-Stokes 方程 (微分形式) 或积分动量方程的基础。 |
| 无粘流 (Inviscid Flow) | 忽略流体粘度 \(\displaystyle \mu\)。 | \(\displaystyle \mu \approx 0\), 无内摩擦，允许滑移。 | \(\displaystyle Re \to \infty\)，公式不用于量化粘性。 | \(\displaystyle Eu\) (或 \(\displaystyle C_p\)), \(\displaystyle Ma\)。 | RTT 中可设粘性力为零。应用 RTT (动量) 可导出 Euler 方程。常结合伯努利方程分析。 |
| 入口/出口均匀流 (Uniform Flow at Inlets/Outlets) | 在控制表面入口/出口处性质和速度均匀。 | \(\displaystyle \rho, b, V_n\) 在界面上为常数。 | \(\displaystyle Re\) 计算常使用该均匀速度 \(\displaystyle V\)。 | 取决于具体流动类型。 | 简化通量积分: \(\displaystyle \int_{CS} (\rho b \mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n}) \, dA = \sum (\rho b V_n A)_{out} - \sum (\rho b V_n A)_{in}\) (极大简化工程计算，常与其他假设联用) |
由雷诺输运定理 (RTT) 导出的主要守恒方程¶
| 替换的广延变量 (\(\displaystyle B_{sys}\)) | 对应的强度量 (\(\displaystyle b = B/m\)) | 系统变化率 (\(\displaystyle d(B_{sys})/dt\)) / 守恒性 | 导出公式名称 | 特殊公式/形式? | 适用范围 | 考试一般怎么使用 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 质量 (Mass) \(\displaystyle m\) |
\(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle \frac{d(m_{sys})}{dt} = 0\) (系统质量守恒) |
连续性方程 (积分形式) (Continuity Equation - Integral Form) \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \rho \, dV + \int_{CS} (\rho \mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, dA = 0\) |
基础方程 常见简化: - 定常: \(\displaystyle \int_{CS} (\rho \mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, dA = 0\) - 定常+不可压: \(\displaystyle \int_{CS} (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, dA = 0\) - 定常+不可压+均匀出入口: \(\displaystyle \sum Q_{out} = \sum Q_{in}\) |
通用，适用于所有流体流动。 | 非常频繁。建立流量/速度关系，求解未知速度或截面积，作为动量/能量分析的基础。检查质量是否平衡。 |
| 线性动量 (Linear Momentum) \(\displaystyle m\mathbf{V}\) |
速度矢量 \(\displaystyle \mathbf{V}\) |
\(\displaystyle \frac{d(m\mathbf{V})_{sys}}{dt} = \sum \mathbf{F}_{sys}\) (牛顿第二定律) |
线性动量方程 (积分形式) (Linear Momentum Equation - Integral Form) \(\displaystyle \sum \mathbf{F}_{on CV} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} (\rho \mathbf{V} \, dV) + \int_{CS} (\rho \mathbf{V} (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n})) \, dA\) |
基础方程 常见简化 (定常+均匀出入口): \(\displaystyle \sum \mathbf{F}_{on CV} = \sum (\dot{m} \mathbf{V})_{out} - \sum (\dot{m} \mathbf{V})_{in}\) |
通用。用于计算流体对固体边界的作用力（或反作用力）。 | 非常频繁。计算管道弯头、异径管、喷嘴、导流叶片等受力；计算射流冲击力；分析飞行器推力。需仔细定义CV并分析所有力（压力、重力、粘性力、支撑反力）。 |
| 角动量 / 动量矩 (Angular Momentum / Moment of Momentum) \(\displaystyle \mathbf{r} \times m\mathbf{V}\) |
速度的矩 \(\displaystyle \mathbf{r} \times \mathbf{V}\) |
\(\displaystyle \frac{d(\mathbf{r} \times m\mathbf{V})_{sys}}{dt} = \sum \mathbf{M}_{sys}\) (角动量定理) |
角动量方程 (积分形式) (Angular Momentum Equation - Integral Form) \(\displaystyle \sum \mathbf{M}_{on CV} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \rho (\mathbf{r} \times \mathbf{V}) \, dV + \int_{CS} \rho (\mathbf{r} \times \mathbf{V}) (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, dA\) |
基础方程 常见简化 (定常+均匀出入口): \(\displaystyle \sum \mathbf{M}_{on CV} = \sum (\dot{m} (\mathbf{r} \times \mathbf{V}))_{out} - \sum (\dot{m} (\mathbf{r} \times \mathbf{V}))_{in}\) |
通用。特别适用于分析旋转机械或有转矩作用的流动。 | 较常见，尤其在涉及泵、涡轮、风机、搅拌器、旋转喷头等问题时。计算所需的扭矩、轴功率 (\(\displaystyle P = T\omega\))。 |
| 能量 (Energy) \(\displaystyle E = m(\hat{u} + \frac{V^2}{2} + gz)\) |
单位质量能量 \(\displaystyle e = \hat{u} + \frac{V^2}{2} + gz\) |
\(\displaystyle \frac{dE_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{net,in} - \dot{W}_{net,out}\) (热力学第一定律) |
能量方程 (积分形式) (Energy Equation - Integral Form) (常用焓形式: \(\displaystyle \hat{h} = \hat{u} + p/\rho\)) \(\displaystyle \dot{Q}_{CV} - \dot{W}_{shaft} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \rho e \, dV + \int_{CS} \rho (\hat{h} + \frac{V^2}{2} + gz) (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, dA\) |
基础方程 相关特殊形式: 1. 含损失能量方程 (定常, 不可压, \(\displaystyle \alpha\)为动能修正系数): \(\displaystyle (\frac{p}{\rho g} + \frac{\alpha V^2}{2g} + z)_{1} + h_{P} = (\frac{p}{\rho g} + \frac{\alpha V^2}{2g} + z)_{2} + h_{T} + h_{L}\) 2. 伯努利方程 (Bernoulli Eq.): 能量方程在定常、不可压、无粘、无轴功、无热传递条件下的沿流线简化形式 (或由动量方程导出): \(\displaystyle \frac{p}{\rho} + \frac{V^2}{2} + gz = \text{常数 (沿流线)}\) |
通用 (能量方程本身)。 含损失能量方程广泛用于管流分析。 伯努利方程适用范围严格受限于其假设条件。 |
频繁。 - 能量方程: 计算热传递、轴功、温变、考虑压缩性的流动。 - 含损失能量方程: 计算管路系统中的压力损失、所需泵扬程、水轮机输出功率。 - 伯努利方程: 用于理想流（无粘、不可压）区域的快速估算，如流线不同点间的压力-速度关系，测速管原理，翼型升力估算。注意严格判断适用条件。 |