流体数学工具:场论(1)

场论

场是什么

场就是空间内函数.
场根据函数描述对象的不同有所分类,如下图所示

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title:场的分类
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classDiagram
class 场
    场:+定义域是标量或矢量
    场:+函数值是标量
    场:+可以有时间变数

    场 <|-- 自变量
    场 <|-- 函数值
    场 <|-- 时变特性

    自变量<|-- 标量场
    自变量<|-- 矢量场
    函数值<|-- 均匀场
    函数值<|-- 非均匀场
    时变特性<|-- 定常场
    时变特性<|-- 非定常场

    自变量:+矢量
    自变量:+标量

    函数值:+各点均匀的
    函数值:+与点分布相关的

    时变特性:+函数值随时间改变
    时变特性:+函数值不随时间改变

标量场的几何描述:等势面

现在给定一个标量场\(\varphi(r,t)\),我们描述这个场的方式是:

• 固定时间变数为\(t_0\)
• 寻找满足\(\varphi(r,t_{0})=\varphi_{0}\)的所有点

这样由等势点构成的曲面称之为等势面,这个标量函数一般称之为势函数.
等势面越密,函数在某一个固定面积的区域内的变化就越快.与此同时,它还有一些重要的应用需要了解:

• 等压线
• 等温线
• 电势的等势线

矢量场的几何描述:矢量线

我们现在来描述矢量场的几何情况.这是通过矢量线,它是经过场内各个点的曲线族,并且满足过场内所有点的矢量方向与矢量线处处相切.

怎么样去描述一个矢量线呢??取场内的某一个向量,任意取,自然我们可以取到\(\vec{a}\),它一定和此时矢量线通过该点的线微元平行(这是由于相切的定义).描述两个向量平行,最简明的方法是通过矢积:

\[ \vec{a}\times\mathrm{d}\vec{r}=0 \]

我们拆开上面的矢积:

\[ \begin{vmatrix} \vec{i} &\vec{j}&\vec{k}\\\\ a_{x} & a_{y} & a_{z}\\\\ \mathrm{d}x & \mathrm{d}y & \mathrm{d}z \end{vmatrix}=0 \]

自然地,如果要使得上面的行列式每时每刻都为0,只能是非基向量的那两行处处对应成比例,即:

$$ \frac{\mathrm{d}x}{a_{x}(x,y,z,t)}=\frac{\mathrm{d}y}{a_{y}(x,y,z,t)}=\frac{\mathrm{d}z}{a_{z}(x,y,z,t)} $$ 这便是矢量线的微分方程,通过对微分方程的求解我们可以得到矢量线的函数.