流体力学(02):流体静力学的基础理论

无重力情况下压力场的分布

压强

无重力情况下的条件可以帮助我们得到如下的定理:

流体基本定律

流体内的任何一点的压强是各向均等的.并且流体各点的压强是相同的.

我们是可以证明上面的定理,我们先从我们的流体中取出一个小块来研究其受力:

对于如图所示的单元,假定\(P_{x},P_{z},P_{n}\)不相同,那么自然我们考虑微元的平衡关系 $$ \begin{equation} \begin{cases} \sum F_{x}=0 \\ \sum F_{z}=0 \end{cases} \end{equation} $$ 从而得到: $$ \begin{equation} \begin{cases} p_{x}b\Delta z-p_{n}b\Delta s \sin \theta=0 \\ p_{z}b\Delta x-p_{n}b\Delta s \cos\theta-\frac{1}{2}\rho g b\Delta x\Delta z=0 \end{cases} \end{equation} $$ 由几何关系\(\Delta z=\Delta s \sin \theta,\Delta x=\Delta s \cos \theta\),将\(\Delta s\)替换掉,可以得到 $$ \color{blue} \begin{cases} p_{x}=p_{n} \\ p_{z}=p_{n}+\frac{1}{2}\rho g \Delta z \end{cases} $$ 我们考虑替换\(\Delta z\)为\(dz\),因此,此时三角微团就会不断减小,此时对于这样一个小点, $$ p_x=p_n=p_{z}=p $$ 所以我们可以把对点的压强统一为\(p\),因此,\(p\)是关于流体内点的函数\(p(x,y,z,t)\),与定向无关.

关于压强梯度,流体的牛顿第二定律关系

现在我们研究如图所示的一个流体微团.我们只考虑平行于\(y\)的情况. 自然地,左侧面的微元压力大小设为\(pdxdz\),那么自然,右侧就是 $$ pdydz+\frac{{\partial p}}{\partial x}dxdydz+\frac{{\partial p}}{\partial y}dxdydz+\frac{{\partial p}}{\partial z}dxdydz $$ 对于平行于\(y\)的情况,\(\frac{{\partial p}}{\partial x}=0,\frac{{\partial p}}{\partial z}=0\),因此右侧就是 $$ \left(p+\frac{{\partial p}}{\partial y}dy\right)dxdz $$ 两者的压力大小差就是 $$ dF_{y}=-\frac{{\partial p}}{\partial y}dxdydz $$ 自然地,我们也可以对\(x,z\)两轴做相同的事情,它们的地位是等价的,得到 $$ \color{orange} \begin{cases} d F_{x}=-\frac{{\partial p}}{\partial x}dxdydz \\ d F_{y}=-\frac{{\partial p}}{\partial y}dxdydz \\ d F_{z}=-\frac{{\partial p}}{\partial z}dxdydz \end{cases} $$ 那么流体微元总共受到的压力的大小就是 $$ d F_{p}=-(\frac{{\partial p}}{\partial x}+\frac{{\partial p}}{\partial y}+\frac{{\partial p}}{\partial z}) dxdydz$$ 现在我们引入方向,这是容易的,只要在各轴分量上乘上对应的单位正交基就可以了. $$ d \hat{F_{p}}=-(\frac{{\partial p}}{\partial x}\hat{i}+\frac{{\partial p}}{\partial y}\hat{j}+\frac{{\partial p}}{\partial z}\hat{h})dxdydz $$ 我们利用高数知道的公式,就可以得到 $$ d \hat{F_{p}}=(-\nabla{p})dxdydz $$ 此时我们定义单位体积下的体积作用压力为\(f\) 所以 $$ \color{pink} \hat{f_{p}}=-\nabla p $$ 也就是说,我们认为单位体积压力是压强的负梯度. 那么我们对于流体可以列出这样的这样的牛顿第二定律 $$ \textcolor{pink}{\hat{f_{p}}}+\textcolor{orange}{\hat{f_{grav}}}+\textcolor{blue}{\hat{f_{visc}}}=\frac{m}{V}\hat{a} $$ 那么我们自然有\(\rho=\frac{m}{V}\) 所以我们就有: $$ \textcolor{pink}{\hat{f_{p}}}+\textcolor{orange}{\hat{f_{grav}}}+\textcolor{blue}{\hat{f_{visc}}}=\textcolor{green}{\rho\hat{a}} $$

仅重力作为外力的流体静力学状态

力学分析

在静力学状态,此时流体仅受重力作用,无加速度也无粘性作用,那么由我们上一个公式,并选取上为正: $$ \nabla p=\rho \hat{g}=-\gamma \hat{k} $$ 所以我们将上面的梯度方程展开为方程组,约去单位矢量. $$ \begin{cases} \frac{{\partial p}}{\partial x}=0 \\ \frac{{\partial p}}{\partial y}=0 \\ \frac{{\partial p}}{\partial z}=-\gamma \end{cases} $$ 从而得到 $$ p_{2}-p_{1}=-\int^{2}{1}\gamma dz=\gamma(z) $$}-z_{2

众所周知\(z_{1}-z_{2}=\Delta h\) 所以我们可得: $$ \color{green} \Delta p=\rho g\Delta h $$

液体的压力分布

由于液体的压缩属性很差(即几乎不能压缩),因此液体的密度\(\rho_{l}\)基本处处均等,此时\(\rho_{l}=C\).所以我们认为,对于静液体而言:

\[ p_{2}-p_{1}=-\int^{2}_{1}\gamma dz=\gamma(z_{1}-z_{2}) \]

为了方便计算,将\(\frac{p}{\gamma}\)定义成一个新的物理量,称为静压头,他的量纲是\([L]\).

水银计模型(托里拆利实验

)

上面的模型是一个水银气压计的模型,它脱胎自托里拆利完成的实验,顶端是真空.由我们上面的公式:

$$ h=\frac{p_{a}}{\gamma _{M}} $$ 只要我们测定一般状态下的\(\gamma_{M}\),我们就能获得现在的大气压.

等温静气体分布

我们还是由上面的公式: $$ \frac{dp}{dz}=-\rho g $$ 因为流体是可压缩的,所以我们不再能将密度作为常值了. 此时我们应当使用理想气体模型,我们认为此时气体是等温的: $$ p=\rho RT $$ 所以我们可以写出: $$ \frac{dp}{dz}=-\frac{p}{RT}g $$ 所以自然地我们写出 $$ \frac{dp}{p}=-\frac{g}{RT} dz $$ 两边同时积分 $$ \ln\left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)=-\frac{g}{RT}(z_{2}-z_{1}) $$ 将对数去掉 $$ \color{orange} p_{2} =p_{1}\exp\left( -\frac{g(z_{2}-z_{1})}{RT} \right) $$

大气压测定

实际上我们的大气并不是等温的(悲),他应该近似是一个线性的关系: $$ T\approx T_{0}-Bz $$ 其中\(T_{0}\)是海平面气温,\(B\)是一个比例系数,称为气温垂直递减率.国际上一般取: $$ \begin{cases} T_{0}=15 ^\circ \text{C}=288.15 \text{K} \ B=0.00650 \text{K/m} \end{cases} $$ 有了上面的公式,我们就要修正上面的等温气压模型,实际上,我们得到: $$ \begin{cases} p=p_{a}\left( 1-\frac{Bz}{T_{0}}\right)^{g/(RB)} \ \rho=\rho_{0}\left(1-\frac{Bz}{T_{0}}\right)^{(g/(RB))-1} \end{cases} $$

对于气体而言,除非\(\delta z\)很小,不然线性关系\(\delta p\approx -\gamma dz\)一般是不成立的.所以你是不能用液体的那个\(\rho gh\)的公式的.

液压计与Pascal定律

首先我们先关注不同分层液体的压强问题,如下图所示:

如图所示,假设我们想求\(p_{5}\),那么我们其实就只要把每一个液体加上的压强叠加起来就可以了. $$ p_{n}-p_{1}=-\sum_{i=1}^{n}\rho_{i}g(z_{i+1}-z_{i}) $$ 由于我们总是取上为正方向,所以其实\(z_{i+1}-z_{i}<0\)恒成立,根据这样的判断,\(p_{n}\geq p_{1}\),即越深的液体压强越大,这和我们的生活经验和实验是吻合的. 现在我们来看一个简单的测压计模型 如图所示,\(p_{a}\)是我们已知的\(A\)气体压强,自然地我们用刚才的认识,可以得到: $$ p_{a}=p_{A}+\gamma_{1}|z_{1}-z_{a}|-\gamma_{2}|z_{2}-z_{1}| $$ 之所以可以列出这样的式子,是因为我们发现在\(p_{2}\)当中,液面先下降了\(z_{1}-z_{D}\),又上升了\(z_{1}-z_{D}\),所以实质上压强没变.我们可以抽象出深刻的定则

Pascal 原理

对于同种连续液体而言,同样高度的液面压强一定相同.

当中的重点是同种和连续,如果当中有真空或者气泡是决计不能用帕斯卡定理的,就要考虑气体的压强变化了.

液压计变体

除了上面的气压计,我们还有很多气压计变体,放在配套的实例当中.