对数不等式(供题人:肉夹馍)¶

求证:当$x>-1$时, $$ \frac{x}{1+x}\le\ln (1+x)\le x $$ 并且当且仅当$x=0$时等号成立.

提示¶

这么简单还要什么提示!!!

题解¶

我们有好几种玩法

玩法1:高中生之梦¶

做差,写辅助函数对于左边 $$ L(x)=\frac{x}{1+x}-\ln(1+x) $$ 我们现在要判定它是不是小于0,就是研究$L(x)$的性质: 求一下导数: $$ L'(x)=-\frac{x}{(1+x)^2} $$ 注意到分母恒正,所以$L'(x)$的正负和$x$有关所以得到$-1<x<0$时$L(x)$严增,$x>0$时$L(x)$严减,$x=0$时为驻点,由于两侧增减性不同,此驻点是极值点,并且由增减关系,可以得出$x=0$为$\mathbb{R}$上的最大值. 代入$x=0$,可得$L(0)=0$.因此$\forall x\in D_{L(x)}$,有: $$ L(x)\le 0 $$ 因此有: $$ \frac{x}{1+x}\le\ln (1+x) $$ 对于不等式的右边我们如法炮制,构造辅助函数: $$ R(x)=\ln(1+x)-x $$ 求其导数: $$ R'(x)=\frac{1}{1+x}-1 $$ 研究$R'(x)$,注意到$x=0$为其驻点. 当$-1<x<0$时,$\frac{1}{1+x}-1>0$,此时$R(x)$严格增, 当$x>0$时,$\frac{1}{1+x}-1<0$,此时$R(x)$严格减. 因此$R(0)=0$是$R(x)$在$\mathbb{R}$上的最大值,因此$\forall x\in D_{R(x)}$,有: $$ R(x)\le 0 $$ 故可得$\ln(1+x)\le x$ 并且由我们上面的分析,当$x=0$时间,三者都为$0$,不等式等号成立. 因此证毕.

玩法2:哥们可是大学生¶

还是写辅助函数. $$ L(x)=\frac{x}{1+x}-\ln(1+x) $$ $$ R(x)=\ln(1+x)-x $$ 注意到这两个函数都是初等函数,初等函数在定义域上都是连续的.

陷阱

不要取-1做区间边界,这样会不满足连续条件,用不了拉格朗日的.取而代之,我们只要取一个离-1很近的某个数就可以了.

首先我们要用到$L(0)=0,R(0)=0$的良好性质.我们先分析$L(x)$ 首先我们取$0<x$的情况,由Lagrange中值定理,则必$\exists \xi$: