二极管(00)

半导体和本征激发

首先我们研究半导体本身,什么是半导体?

半导体的定义

导电性能介于绝缘体和导体之间的一类物质.

常见的半导体材料是\(\ce{Si},\ce{Ge}\)等,它们的特点在于它们的最外层电子都是\(4\),换句话说,它们的价电子是\(+4\)价的.因此,在纯的\(\ce{Si}\)之间会形成共价键.下面用 Ketcher 展示了\(\ce{Si}\)半导体的一个单元.

在热力学温度\(\text{T}=0\text{K}\)的时候,分子之间没有热运动,此时这个结构是稳定的.但是,热力学的温度为\(0\)有点不可能(诺言诺语),所以这就给了半导体的电子以能量,从而使得它能跳出核的束缚从价带进入导带,形成电子-空穴对,进而在外加电场的情况下产生电流,这种现象是半导体固有的属性.

本征激发

在热运动的作用下,半导体价带电子变为自由电子的物理现象.

高中的时候我们学习过,\(1\,\text{mol}\)任何物质就意味着\(6.02\times 10^{23}\)个这样的物质分子/原子.这样数目的硅能激发出多少的自由电子,这里有一个不加证明的计算公式 $$ n_i = BT^{3/2} e^{-E_g/2kT} $$

有一些字母需要解释,首先\(B\)是一个和材料相关的系数,对于我们现在研究的硅管而言,\(B=7.3\times10^{15}\text{cm}^{-3}K^{-3/2}\),\(T\)是硅管当时所处的热力学温度,\(k=8.62\times10^{-5}\text{eV/K}\)为玻尔兹曼常量.\(E_{g}\)为硅元素的禁带宽度(或称势垒高度),对于硅管而言\(E_{g}=1.12\text{eV}\). 通过上述的解释,我们得以计算\(T=300\text{K}\)时的本征激发自由电子数,我们将它作为习题:

通过上面的计算,实际上我们可以认为在半导体器件的一般工作状态,本征激发很弱.我们就要对半导体的导电性进行一定的提升.我们尝试在半导体中进行一定程度的掺杂来实现.在我们具体研究掺杂之前,我们须不加证明的认识到这样的一个守恒约束:

\[ np=n_{i}^{2} \]

为什么不是\(n+p=2n_{i}\)?这是因为在热平衡状态下，载流子的产生率与复合率相等。复合率通常与电子浓度\(n\)和空穴浓度\(p\)的乘积成正比.

掺杂

N 型半导体,P 型半导体

现在我们尝试为\(1\text{cm}^{3}\)的\(\ce{Si(4)}\)中掺入一定量的\(\ce{P(5)}\).此时\(\ce{P}\)将一部分\(\ce{Si}\)原子取代,并携带多余的自由电子,这些自由电子不参与共价键的形成,它们和导带的距离更近,也就是在外加能量的情况下更加容易跳到导带上形成自由-电子空穴对.

此时我们相当于引入了大量的自由电子,定量地分析,每一个掺杂的\(\ce{P}\)都能供出一个自由电子,所以只要求出掺杂的总量就可以了.通过下面的习题我们大概可以定量地来认识掺杂对自由电子的影响.

多子掺杂,少子本征

通过上面的计算,我们可以认识到对于掺杂半导体而言,本征激发贡献的自由电子数目近乎可以忽略不计,因此我们可以这样来写

\[ N_{D}\simeq n_{n} \]

前者为掺杂浓度,后者为自由电子的浓度 自然的利用上面的公式,我们可以写出空穴浓度的表达式:

\[ p_{n}\simeq\frac{n_{i}^{2}}{N_D} \]

所以我们可以得出,伴随着\(N_{D}\ce{^},n_{n}\ce{^},p_{n}\ce{v}\),自由电子占主导的地位,而自由电子带负电(Negative),于是取其极性首字母作为此半导体的名字,称为N 型半导体. 对于P 型半导体,结构是类似的,只是此时空穴占主导的地位,两者的公式完全相同.所以我们将两种半导体放在一起研究,我们把占主导地位的载流子叫做多数载流子,简称多子,则另一种载流子称为少数载流子,简称少子. 我们可以看到,杂质原子不断为整个半导体提供多子.这些多子又通过热平衡的效应抑制少子,我们可以认为,多子完全依赖于杂质原子的掺杂(正如我们先前习题的计算),因此,掺杂浓度和多子浓度是正相关的. 而少子受到掺杂的抑制,本征激发的影响效应大,占主导地位.而它又和温度是正相关的.因此我们得出了第一个奇特的口诀:多子掺杂,少子本征.

半导体内电流

现在我们主要来研究半导体的内部的电流.

扩散电流

实际上,由于电子本身的扩散作用,此时将会形成一个电流,我们现在就来定量分析这个电流的大小.我们先补充一下Fick 扩散定律

Fick第一扩散定律

$$ j=-D\nabla C $$ 即扩散通量\(j\)和截面浓度的梯度成正比.

我们现在来利用上面的内容来研究电流密度\(J\).我们由大学物理知识,可以得到下面的公式:

\[ J_{n}=-qj_{n}=qD_{n} \frac{dn(x)}{dx} \]

同理:

\[ J_{p}=qj_{p}=-qD_{p} \frac{dp(x)}{dx} \]

其中\(D_{n},D_{p}\)分别是自由电子和电荷的扩散常数,注意\(D_{n}\neq D_p\)

漂移电流

现考虑外加电场之情形,自然地在电场的作用下,空穴受到电场加速顺电场运动,电子受到电场加速逆电场运动.实验可得,漂移速率和电场强度成正比,比值称为迁移率\(\mu\):

\[ \begin{cases} v_{n-d}=-\mu_{n}E \\ v_{p-d}=\mu_{p}E \end{cases} \]

我们中学时候学过电流的决定式:

\[ I=Nqsv \]

那么代入:

\[ \begin{cases} I_{p}=pqA\mu_{p}E \\ I_{n}=nqA\mu_{n}E \end{cases} \]

注意,这是因为电流和电子的运动反向相反,致使\(I_{n}>0\) 所以位移电流的总贡献就是:

\[ I=I_{p}+I_{n}=pqA\mu_{p}E+nqA\mu_{n}E \]

两边同除截面积得电流密度关系:

\[ J=J_{p}+J_{n}=qE(p\mu _{p}+n\mu_{n}) \]

其中\(\mu_{p},\mu_{n}\)分别表示载流子的转移率,两者往往也不同. 我们把\(q(p\mu _{p}+n\mu_{n})\)定义为新的物理量\(\sigma\),称为导电率. 则此时式子简化为:

\[ J=\sigma E \]

一般称为欧姆定律. 导电率的倒数称为电阻\(R\).

扩散常数和迁移率的关系:Einstein 方程

实验表明扩散常数和迁移率之间是有一定的关系的,具体来说: \(\(\frac{D_n}{u_n} = \frac{D_p}{u_p} = V_T\)\) 其中\(V_T\)的量纲是\([\text{T}]\),常被称为热电压.上述方程由物理学家 Einstein 发现,且:

\[ V_T=\frac{kT}{q} \]

PN 结与对 PN 结的偏置

什么是 PN 结

当我们把\(P\)型半导体和\(N\)型半导体贴一块(至于什么工艺能做到详见半导体物理和半导体材料),然后在两边分别贴上金属贴片,我们就制造出了第一个模拟电子元件,现在我们先叫它PN 结.

如图所示,我们把贴\(P\)型半导体的一侧叫 PN 结的阳极(Anode),贴\(N\)型半导体的一侧叫 PN 结的阴极(Cathode).

PN 结的开路性质

我们现在先不把它接入外加的电压,而研究其开路的特性.在开路的情况下,自然地,两半导体内部的载流子向对向移动,在两者的分界处相互抵消,与此同时形成一个阻碍两边载流子漂移的一个电场,使得半导体进入一个动态平衡的状态,如图所示.

此时中间形成的区域常称为耗尽区.耗尽区的电场表明此时 PN 结两边的电势不同,如图所示:

我们注意到,如果耗尽区是稳定的,不发生改变的,那么必然有:

\[ I_{D}=I_{S} \]

\(I_{D}\)和我们势垒电压\(V_{0}\)是有关的.所谓的动态平衡就是说:当因为某些情况而致使\(I_{S}>I_{D}\)时,此时会造成\(V_{0}\ce{^}\),进而使得耗尽区增大,\(I_{D}\ce{^},I_{S}\ce{v}\),进而实现\(I_{D}=I_{S}\)之新的平衡.同理,\(I_{S}<I_{D}\)的情况也是易于理解的.

加偏置的情况

下面的三张图很生动地描述了添加偏置的情况,正如我们上文所说的,\(I_D\)和\(V_{0}\)是不可分割的一对,所以我们可以看到外加偏置对\(V_{0}\)的影响,进而影响耗尽区宽度和\(I_{D}\).

PN 结+正偏

此时耗尽区缩小,载流子漂移增强,输出的电流为

\[ I=I_{D}-I_{S} \]

当\(I_D\)在偏置的帮助下远超\(I_S\)时,可以近似的认为\(I\simeq I_D\),且由\(V_F\)决定.

PN 结+反偏

此时耗尽区增大,载流子漂移进一步变弱.内建电场的扩大进一步抑制\(I_D\),致使\(I_D\simeq 0\),此时输出的反向电流\(I_{S}\)占主导地位.

PN 结的 I-V 曲线(背公式版本)

这里不加推导地(因为太 jb 长了)给出PN 结的 I-V 关系 即

\[ I=I_{s}(e^{ v/v_{T} }-1) \]

其中 \(I_S = A q n_i^2 \left( \frac{D_p}{L_p N_D} + \frac{D_n}{L_n N_A} \right)\) \(I_{S}\)称为反向饱和电流. \(A\) 表示截面积,\(q\) 表示电子电荷,\(L_p\) 和 \(L_n\) 分别表示空穴和电子的扩散长度,\(N_D\) 和 \(N_A\) 分别表示施主和受主浓度.\(I_{S}\)的取值范围从\(10^{-18}\sim 10^{-12} \text{A}\)不等,\(I-V\)曲线如图所示.

结电容效应\(^{\ast}\)

我们不在这个章节中多阐释结电容效应的问题,有兴趣的同志可以阅读

扩展内容

限于篇幅,我们不再多放更多的实例和内容,请看网站上的补充包

速通概括 (TL;DR 版)

半导体这东西，导电性不上不下，得靠“激活”。纯净时靠热量（本征激发） 抖搂出点电子空穴对 (\(n_i\))，但效率感人 (\(n_i \propto e^{-E_g/2kT}\))。想让它能干活，就得掺杂：掺五价磷变 N 型（多电子），掺三价硼变 P 型（多空穴）。

记住质量作用定律 (\(np = n_i^2\))：掺杂多了多数载流子，少数载流子就得被“挤兑”下去。电流怎么流？要么是浓度差引起的扩散 (\(J \propto dn/dx;J \propto dp/dx\))，要么是电场 E 驱动的漂移 (\(J = \sigma E\))。扩散和漂移能力通过爱因斯坦关系关联 (\(\frac{D}{\mu} = V_T = \frac{kT}{q}\))。

把 P 型 N 型贴一块，就成了 PN 结。自带一个“无人区”（耗尽区）和内建电场 \(V_0\)。给它正偏（P接正，N接负），无人区缩小，电流哗哗流；给它反偏，无人区扩大，基本不导通（只漏点小电流 \(I_S\)）。这个脾气可以用二极管方程描述： $$ I = I_S (e^{v/V_T} - 1) $$