二极管入门(2):实际二极管的实现和建模

实际二极管的实现:PN 结

PN 结端子特性

我们这个部分来聊一聊二极管的实际实现.基本上,我是说基本上,连小孩子都知道二极管就是用 PN 结做的.
问题是,你了解 PN 结嘛?

PN 结之回顾

我们现在来回顾一下 PN 结的特性

• \(V>0\),此时加的正向电压,导通,\(I-V\)曲线为\(i=i_s(e^{v/V_{T}}-1)\)
• \(-V_{ZK}<V<0\),此时加的反向电压,截止,电流为饱和电流\(i_s\)
• \(v<-V_{ZK}\),此时 PN 结被击穿.

对上面的一些量值,我们要有一定的认识:

\[ V_T=\frac{kT}{q} \]

对偏置的研究

对于我们正向偏置的\(I-V\)关系,随着我们的\(e\)指数的不断扩大.后面的常数项\(-1\)的影响不断减小,因而我们可以说下面的条件是成立的:

\[ i\simeq i_s e^{v/v_{T}} \]

那么我们自自然可以改写下上面的函数

\[ \log(i)=\log(i_s)+\frac{v}{v_{T}} \]

因而

\[ v=v_{T}\log(\frac{i}{i_s}) \]

那么我们可以发现,对于在正向偏置区的 PN 结来说:

\[ V_2-V_1=v_{T}\log(\frac{i_2}{i_1}) \]

对正向特性的建模

指数模型

方程组

我们刚刚就对我们的\(-1\)信号做了忽略,所以我们自然认为,对于实际的二极管,我们应当采取这种指数模型来建模.
我们先看到最简单的正偏二极管的电路图: 我们首先假设我们的外加正向电压大于我们的管压降.此时根据我们上面的分析,我们可以认识到:

\[ i_{D}=i_{s}e^{V_{D}/V_{T}} \]

并且根据我们的 Kirchoff 定律,我们还有:

\[ i_{D}=\frac{V_{DD}-V_{D}}{R} \]

通过上面的两个方程,我们就可以在已知\(i_s\)的情况下,反解出\(i_{D}\)和\(V_{D}\).

图解法,工作点

解答上面这个方程组可以通过将两张图像都绘制在我们的\(i-v\)坐标系上面. 我们自然也就能画出上面的两根曲线,结局就是,我们能够画出一个交点,这个叫交点我们称之为工作点.

迭代法求工作点

压降模型

我们不喜欢非线性的元件(尤其是这种指数的),因为一旦联立起来就是超越方程.这个玩意超级难解!!!
我们参考我们之前的理想二极管莫模型,它的导通压降是 0,那么我们引入\(0.7\text{V}\)的导通压降就可以了嘛.下面的图像很好地阐释了这一点

理想二极管模型

如果我们的正向压降相较于我们的外加电压非常小,那么自然地我们就可以忽略正向压降的影响,此时压降模型可以直接转化为理想二极管模型.

小信号模型(重要)

现在我们还是回到这样的一个电路图.

上面的两个模型在处理二极管的时候,都把它当成了反向直流电源了.这在算工作点和算功率,还有算频率响应的时候都会出问题. 所以我们提出一种新的模型,假设我们的直流正向电压\(V_{DD}\) 改变了,改变成了 \(V_{DD}+\Delta V_{DD}\).这个时候它会造成我们\(I_{D}\)和\(V_{D}\)的变化,假设为\(\Delta I_{D}\)和\(\Delta V_{D}\).
我们现在可以这么做,就是我们把二极管上的电压信号直接写成直流信号\(V_{D}\)和一个交流小信号\(v_{d}(t)\)的和.即:

\[ v_{D}(t)=V_{D}+v_{d}(t) \]

有了\(v_{d}\)之后,我们可以得到:

\[ i_{d}(t)=I_{s}e^{v_{D}/v_{T}} \]

代入可以得到:

\[ i_{d}(t)=I_{s}e^{v_{D}/v_{T}}e^{v_{d}/v_{T}} \]

由我们先前的定义得:

\[ i_{d}=I_{D}e^{x} \]

我们现在只要保证\(v_{d}\)很小,即

\[ \frac{v_{d}}{v_{T}} << 1 \]

就可以对\(e^{v_{d}/v_{T}}\)进行泰勒展开:

\[ e^{v_{d}/v_{T}}=1+\frac{v_{d}}{v_{T}}+o(\frac{v_{d}}{v_{T}}) \]

忽略高阶的无穷小,得到:

\[ i_{D}=I_{D}(1+\frac{v_{d}}{v_{T}}) \]

又由于:

\[ i_{D}=I_{D}+i_{d} \]

自然地,我们可以得到:

\[ i_{d}=\frac{I_{D}}{v_{T}}v_{d} \]

所以我们发现\(\frac{I_{D}}{v_{T}}\)的单位是西门子,所以我们取其倒数:

\[ r_{d}=\frac{V_{T}}{I_{D}} \]

称之为交流小信号的动态电阻.对于一般的情况,我们一般这样计算: $$ r_{d}=\frac{1}{\frac{\partial i_{D}}{\partial v_{D}}} (i_{d}=I_{D}) $$

关于交流小信号的验证,有一个关于电源纹波的实例,放在补充包中.

对于正向特性,我们有一个重要的实例:[正向稳压器]

Zener二极管

有些时候,我们需要能够承受反向电压的二极管,这是因为,我们的二极管的击穿区的\(i-v\)曲线近似竖直,意味着哪怕我们的电流波动很大,此时的电压也很稳定.所以这种特性让我们可以用来稳压.能够承受反向电压的二极管,我们称之为稳压二极管,又称Zener管.Zener管的图示如下所示:

使得我们的Zener管进入击穿模式的最小电流,称为拐点电流.Zener管反加的电压大于拐点电流对应的电压时,此时我们的电压变化不明显,而电流变化剧烈,如下图所示:

击穿部分的斜率称为齐纳二极管的动态电阻,他一般(在反向区)满足这样的表达式 $$ r_{z}=\frac{\Delta v}{\Delta i} $$ 从\(i-v\)曲线的角度来说,\(r_z\)表现为其反向击穿曲线斜率的倒数.假设对于上面穿过某一定点\(Q\)的斜率为\(\frac{1}{r_{z}}\)的直线的横截距为\(-V_{Z0}\),那么我们就可以这样写我们的表达式(注意下面的式子中的量都是绝对值): $$ V_{Z}=V_{Z0}+I_{Z}R_{Z} $$ 对于齐纳二极管的建模也是比较容易的,由于上面推导之线性性质,我们常常将齐纳二极管建模成如下所示的组合.

齐纳管的一个重要实例是用作并联稳压管.

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速通概括 (TL;DR 版)

实际二极管，就是个 PN 结。脾气复杂：正向偏置时，电流 \(I\) 按指数规律暴增： $$ I \approx I_S e^{v/V_T} $$ 精确求解麻烦，常用恒压降模型（比如 0.7V 反向电源）简化。

对付交流小信号 \(v_d\)，得用小信号模型：二极管在直流工作点 \(I_D\) 附近，表现得像个电阻 \(r_d\)： $$ r_d = \frac{V_T}{I_D} $$ 这是分析交流的关键。

反向偏置时，电压太高会击穿。齐纳（Zener）二极管就利用这点来稳压，提供一个相对恒定的电压 \(V_Z\)。可以近似看成： $$ V_Z = V_{Z0} + I_Z r_z $$ （\(V_{Z0}\) 是理想稳压值，\(r_z\) 是动态电阻）。

总之，实际二极管是非线性的，建模方法看你对精度和麻烦的取舍。